A Folha de Papel

"Sem a Matemática não nos seria possível  compreender muitas passagens das santas escrituras."

Santo  Agostinho

Já que Santo Agostinho mencionou a Sagrada Escritura e a Matemática, vamos pensar a respeito dessa relação. Antigamente, alguns escritos eram feitos em tábuas de pedra. O próprio Moisés escreveu os mandamentos em tábuas desse tipo.
Felizmente, as pessoas concordavam que esse não era o melhor lugar para se escrever. Imagine você, indo para a escola com seu livro de matemática todo feito em pedra. Meio incômodo, não?!
Ainda bem que inventaram  papel!!!
Agora, o que tudo isso tem a ver com matemática? Esse blog não devia ser para assuntos relacionados à rainha das ciências?
Ora, e o tal do papel tem muitíssimo a ver com matemática. Pra começar, é meio óbvio que a existência do papel foi, e é bastante importante para o desenvolvimento da matemática. Já pensou se Newton tivesse "inventado" o Cálculo em tábuas de pedra, ou se Gauss e suas imensas contribuições tivessem
sido gravadas numa montanha!?! Aí é que ninguém ia querer saber de matemática mesmo... :(


Fora esses detalhes, você já se perguntou porque uma folha de papel tem exatamente aquelas medidas?
Uma folha de papel do tamanho padrão A4 (que é a folha de papel mais comum no dia-a-dia) tem exatos 210 milímetros de largura por 297 milímetros de altura. Curioso, não!? Será que algum maluco simplesmente "chutou" esses números?  Ou será que essas medidas tem algum sentido oculto?
Sem dúvida, esses valores não são fruto do acaso.


Quando falamos em retângulos, e mesmo outras formas geométricas notáveis, especialmente as que encontramos no cotidiano, é comum pensarmos no Retângulo Áureo. Ele aparece em diversas construções, na arte e até nas medidas de cartões de crédito.
Mas, a razão 297/210 não tem nada a ver com a razão áurea. Na verdade, 297/210 é uma aproximação muito boa para a raiz quadrada de 2. Isso mesmo, raiz de 2.
Mas que diabos a raiz de 2 tem de tão especial para que ela apareça no tamanho do papel?


A idéia é a seguinte: quais seriam as dimensões de um retângulo, para que quando esse retângulo fosse dividido ao meio, a proporção fosse mantida?


Observe a figura.

Assim, para o retângulo grande, temos (tomando Largura sobre Altura) a razão ^L/_A. No retângulo menor, a   mesma razão fica ^A/_L/2.

Então, para que ambas as razões sejam iguais, vem
^L/_A = ^A/_L/2
Se efetuarmos uma multiplicação cruzada, temos
^L²/₂ = A²
Passando o denominador para o outro lado
L² = 2A²
E, finalmente, tomando a raiz quadrada em ambos os lados
L = √2A

Tchãrãm!!! Olha a raiz quadrada de 2 aí!!!


Tá, até aí, tudo bem. Mas, pra que isso serve? Qual a vantagem de termos essa proporção mantida?
As folhas de um livro, por exemplo, são impressas em folhas grandes, na frente e no verso, e depois são dobradas e cortadas,
e dão a formatação final do livro. Normalmente essas dobras, ou cortes são feitos no meio da página.
Por exemplo: uma folha de papel, quando dobrada uma vez ao meio, gera quatro páginas de um livro. Se fizermos duas dobras,
teremos 8 folhas, e assim por diante.
Prático, não?!
Como cada dobra é feita a partir do estado anterior, a proporção é sempre mantida, em todas as páginas do livro.


Interessante, não?! Como sempre, podemos encontrar matemática onde menos esperamos.


Além do formato A4, existe outros formatos da mesma série: A0, A1, A2, A3... , todos feitos sob o mesmo raciocínio. Observe a imagem:

Cada tamanho é obtido cortando-se o tamanho imediatamente anterior exatamente ao meio.
E, mais uma vez, a proporção se mantém.




Até a próxima...

Referências:

[1] Revista do Professor de Matemática - RPM
                  Número 66
                  A Matemática da Folha de Papel A4 - José Luiz Pastore Mello


[2] www.wikipedia.org