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Pato Donald no País da Matemágica

Olá, alunos...

Conforme combinado na aula, temos um trabalhinho sobre o desenho visto.
Primeiramente, os links para cada parte do desenho no youtube são:

Parte 1: http://www.youtube.com/watch?v=hWLAtn3KVw8
Parte 2: http://www.youtube.com/watch?v=2BRo7fFo0_c
Parte 3: http://www.youtube.com/watch?v=qoXJD23AmAo


Respondam as cinco questões abaixo, e entreguem na próxima aula, em folha branca (como no último trabalho).

1ª Questão: O narrador mostra como Pitágoras construiu uma harpa, através da divisão de uma corda segundo frações específicas. Que frações foram essas?

2ª Questão: Após conhecer o mundo musical de Pitágoras, o símbolo dos pitágoricos ficou "tatuado" na mão do Donald. Que símbolo é esse?

3ª Questão: Qual a forma geométrica do campo de beisebol?

4ª Questão: O narrador explica as regras de um tipo específico de jogo de bilhar (sinuca). Explique como funciona esse jogo.

5ª Questão: Através de que forma geométrica são obtidas as lentes de aumento? Como são obtidas?


Abraços à todos, e até a aula!!!

A Folha de Papel

"Sem a Matemática não nos seria possível  compreender muitas passagens das santas escrituras."

Santo  Agostinho

Já que Santo Agostinho mencionou a Sagrada Escritura e a Matemática, vamos pensar a respeito dessa relação. Antigamente, alguns escritos eram feitos em tábuas de pedra. O próprio Moisés escreveu os mandamentos em tábuas desse tipo.
Felizmente, as pessoas concordavam que esse não era o melhor lugar para se escrever. Imagine você, indo para a escola com seu livro de matemática todo feito em pedra. Meio incômodo, não?!
Ainda bem que inventaram  papel!!!
Agora, o que tudo isso tem a ver com matemática? Esse blog não devia ser para assuntos relacionados à rainha das ciências?
Ora, e o tal do papel tem muitíssimo a ver com matemática. Pra começar, é meio óbvio que a existência do papel foi, e é bastante importante para o desenvolvimento da matemática. Já pensou se Newton tivesse "inventado" o Cálculo em tábuas de pedra, ou se Gauss e suas imensas contribuições tivessem
sido gravadas numa montanha!?! Aí é que ninguém ia querer saber de matemática mesmo... :(


Fora esses detalhes, você já se perguntou porque uma folha de papel tem exatamente aquelas medidas?
Uma folha de papel do tamanho padrão A4 (que é a folha de papel mais comum no dia-a-dia) tem exatos 210 milímetros de largura por 297 milímetros de altura. Curioso, não!? Será que algum maluco simplesmente "chutou" esses números?  Ou será que essas medidas tem algum sentido oculto?
Sem dúvida, esses valores não são fruto do acaso.


Quando falamos em retângulos, e mesmo outras formas geométricas notáveis, especialmente as que encontramos no cotidiano, é comum pensarmos no Retângulo Áureo. Ele aparece em diversas construções, na arte e até nas medidas de cartões de crédito.
Mas, a razão 297/210 não tem nada a ver com a razão áurea. Na verdade, 297/210 é uma aproximação muito boa para a raiz quadrada de 2. Isso mesmo, raiz de 2.
Mas que diabos a raiz de 2 tem de tão especial para que ela apareça no tamanho do papel?


A idéia é a seguinte: quais seriam as dimensões de um retângulo, para que quando esse retângulo fosse dividido ao meio, a proporção fosse mantida?


Observe a figura.

Assim, para o retângulo grande, temos (tomando Largura sobre Altura) a razão ^L/_A. No retângulo menor, a   mesma razão fica ^A/_L/2.

Então, para que ambas as razões sejam iguais, vem
^L/_A = ^A/_L/2
Se efetuarmos uma multiplicação cruzada, temos
^L²/₂ = A²
Passando o denominador para o outro lado
L² = 2A²
E, finalmente, tomando a raiz quadrada em ambos os lados
L = √2A

Tchãrãm!!! Olha a raiz quadrada de 2 aí!!!


Tá, até aí, tudo bem. Mas, pra que isso serve? Qual a vantagem de termos essa proporção mantida?
As folhas de um livro, por exemplo, são impressas em folhas grandes, na frente e no verso, e depois são dobradas e cortadas,
e dão a formatação final do livro. Normalmente essas dobras, ou cortes são feitos no meio da página.
Por exemplo: uma folha de papel, quando dobrada uma vez ao meio, gera quatro páginas de um livro. Se fizermos duas dobras,
teremos 8 folhas, e assim por diante.
Prático, não?!
Como cada dobra é feita a partir do estado anterior, a proporção é sempre mantida, em todas as páginas do livro.


Interessante, não?! Como sempre, podemos encontrar matemática onde menos esperamos.


Além do formato A4, existe outros formatos da mesma série: A0, A1, A2, A3... , todos feitos sob o mesmo raciocínio. Observe a imagem:

Cada tamanho é obtido cortando-se o tamanho imediatamente anterior exatamente ao meio.
E, mais uma vez, a proporção se mantém.




Até a próxima...

Referências:

[1] Revista do Professor de Matemática - RPM
                  Número 66
                  A Matemática da Folha de Papel A4 - José Luiz Pastore Mello


[2] www.wikipedia.org

Seminários de Matemática

Universidade Católica de Petrópolis

Colégio de Aplicação

Ensino Médio - 2º Ano

4º Bimestre

Estamos no último bimestre letivo deste ano. Vamos aproveitar a ocasião para aprofundar os conteúdos estudados durante todo o ano, e aprender novas aplicações para estes conteúdos.

Os seminários receberão nota entre zero (0,0) e dez (10,0), e serão apresentados na semana entre 30/11 e 04/12

Regras do Seminário:

* Cada grupo terá entre 15 e 20 minutos para a apresentação. Nem mais nem menos. Programa os conteúdos da a presentação para que estejam de acordo com o tempo disponível;

* Serão avaliados os seguintes quesitos:

• Conteúdo - O trabalho deve ser rico nos conceitos explorados, no embasamento histórico e nos exemplos práticos;
• Estética da Apresentação - Sua apresentação deve ter apoio visual, de modo a ser clara e agradável, para cativar o ouvinte;
• Domínio do conteúdo apresentado - TODOS os integrantes do grupo devem participar da apresentação, e TODOS devem dominar TODO o conteúdo do trabalho;
• Tempo de apresentação - Apresentações com menos de 15min ou com mais de 20 min serão penalizadas;

* Seu trabalho deve conter:

• Introdução - (história do tema, motivações);
• Desenvolvimento - (apresentação dos conceitos envolvidos, exemplos práticos);
• Conclusão - (suas opiniões e considerações sobre o tema e sobre a realização do seminário);
• Bibliografia - (todas as fontes consultadas devem constar na bibliografia).

Os temas dos seminários são:

Grupo 1: "Os Logaritmos e a Escala Richter"

Grupo 2: "Progressões Aritméticas e Geométricas e os Juros Compostos"

Grupo 3: "Funções Exponenciais, Progressões Geométricas e a Dinâmica das Populações"

Grupo 4: "Análise Combinatória, Probabilidades e as Loterias"

Grupo 5: "Probabilidades e Genética"

Grupo 6: "Matrizes e Sistemas Lineares"

Grupo 7: "Matrizes e Transformações Geométricas: os Movimentos no Cinema"

Sobre Probabilidades

"É notável que uma matéria que nasceu das considerações sobre jogos de azar tivesse se elevado ao nível mais alto das realizações do Espírito humano."

P.S. Laplace

A Teoria das Probabilidades tem origem direta nos jogos de azar. Durante o século XVI, o jogo era o principal passatempo, e na maioria das vezes, se apostava dinheiro. Era de se esperar que alguma pesquisa surgisse, na tentativa de obter se lucro, ou ao menos de se reduzir o prejuízo.

Já na antiguidade, os jogos aparecem em quase todas as civilizações primitivas. Os primeiros dados eram provavelmente feitos de ossos de animais (em geral um osso chamado 'astrágalo')

, que tinha um formato próximo ao do cubo, porém com apenas 4 faces. Na grande maioria das culturas, os dados eram vistos como instrumento para adivinhação ou para interpretação da vontade divina. Não havia a noção de acaso ou de aleatoriedade. Aliás, o primeiro passo para o estudo dos jogos se tornar científico foi a aceitação dessa aleatoriedade.

Curiosamente, o marco inicial da Teoria das Probabilidades nada mais era do que um pequeno manual do jogador, do matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576). A obra (Liber de Ludo Aleae - O livro dos Jogos de Azar), nem era considerada, por Cardano, digna de ser publicada.

Cerca de 100 anos depois da obra de Cardano, o matemático francês B. Pascal(1623-1662) começou a trocar correspondências com o matemático e amigo P. Fermat (1601-1665),

e essas cartas, forneceram as bases para a Teoria das Probabilidades moderna.

Um dos problemas que entusiasmaram Pascal foi semelhante ao seguinte:

(Problema dos Pontos)

Dois jogadores apostaram R$ 10,00 cada um em um jogo de cara-ou-coroa, em que o primeiro a conseguir 6 vitórias ficaria com o dinheiro apostado.

O jogo, no entanto, presisa ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitórias e o outro tem 3. Qual a divisão justa da quantia apostada?

Parece justo que a quantia seja dividida de acordo com a chance que cada um tem de ganhar o jogo.

Assim, o número máximo de partidas que ainda poderiam ser disputadas é 3. Considerando então todos os 8 resultados possíveis para as três partidas(2x2x2=8),

a única forma do jogador II vencer é ganhar as três partidas. Assim o jogador II tem 1/8 de chance de vitória. Para que o jogador I vença, temos então, probabilidade 7/8.

Logo, I deve ficar com 20x7/8 = 17,50 e II com 20x1/8 = 2,50.

Um outro problema, mais moderno, que gerou (e gera) bastante polêmica é o seguinte:

(O Problema do Bode)

Em um programa de prêmios, o candidato tem diante de si três

portas. Atrás de uma dessas portas, há um grande prêmio; atrás

das demais há um bode. O candidato escolhe inicialmente uma

das portas. O apresentador (que sabe qual é a porta que contém

o prêmio) abre uma das portas não indicadas pelo candidato,

mostrando necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta se

o candidato mantém sua escolha ou deseja trocar de porta. O

candidato deve trocar ou não?

O candidato deve trocar a porta. Se ele não o faz, sua chance

de vitória está em ter escolhido a porta certa da primeira vez,

o que ocorre com probabilidade 1/3. Trocando a porta, ele vai

ganhar o prêmio exatamente nos casos em que a porta escolhida

é a errada, o que tem probabilidade 2/3.

Aplicações importantes da Teoria das Probabilidades aparecem, além dos jogos de azar, no mercado de seguros (calcula-se a probabiliadade de um acidente ou roubo),

na questão da confiabilidade (estima-se a probabilidade de falha de determinado produto); na Física Quantica (probabilidades de partículas se chocarem, ou de se encontrar,

em determinado orbital, o elétron), entre outras.

Filmes Relacionados

• Uma mente brilhante - (A Beautiful Mind) 2001, sobre a vida do matemático John Forbes Nash.
• Quebrando a banca - (21) 2008, inspirado na história verídica dos jovens mais brilhantes dos Estados Unidos - e de como eles ganharam milhões em Las Vegas.

Bibliografia

[1] Fundamentos de Matemática Elementar, vol 5 - Samuel Hazzan (Combinatória/Probabilidade) - Ed Atual;

[2] Métodos de Contagem e Probabilidade - Paulo Cezar Pinto Carvalho - PIC/OBMEP;

[3] Matemática, ciência e aplicações - G Iezzi, O Dolce, D Degenszajn, R Périgo, N Almeida - Ed Atual;

[4] www.wikipedia.org

Olá!